Trigonometrické funkce: přehled, vzorce a tabulka hodnot

Když se řekne matematika, mnoha lidem se vybaví právě trigonometrie – a to z dobrého důvodu. Sinus, kosinus a tangens se učí už na základní škole, ale málokdo ví, že k nim patří ještě tři další funkce – kotangens, sekans a kosekans.

Počet základních funkcí: 3 (sinus, kosinus, tangens) · Počet všech šesti funkcí: 6 (plus kotangens, sekans, kosekans) · Standardní tabulka hodnot: pro úhly 0°, 30°, 45°, 60°, 90° · Nejstarší známé použití: starověké Řecko (Hipparchos, 2. stol. př. n. l.)

Základní fakta o trigonometrických funkcích v kostce:

Jaké jsou trigonometrické funkce?

Definice trigonometrických funkcí

Trigonometrické (goniometrické) funkce se v češtině běžně definují dvěma způsoby: pomocí poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku a pomocí jednotkové kružnice. Obě definice jsou ekvivalentní a používají se v závislosti na kontextu. Podle Wikipedie (otevřená encyklopedie) se sinus, kosinus, tangens a kotangens definují jako poměry stran pravoúhlého trojúhelníku.

Přehled šesti funkcí

• Sinus (sin) – funkce přiřazující reálnému číslu druhou souřadnici bodu na jednotkové kružnici (Masarykova univerzita (výzkumná instituce))
• Kosinus (cos) – první souřadnice bodu na jednotkové kružnici
• Tangens (tg) – podíl sinu a kosinu (cos x ≠ 0)
• Kotangens (cotg) – podíl kosinu a sinu (sin x ≠ 0)
• Sekans (sec) – převrácená hodnota kosinu
• Kosekans (csc) – převrácená hodnota sinu

Vztah k pravoúhlému trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku s úhlem α platí: sinus = protilehlá odvěsna / přepona, kosinus = přilehlá odvěsna / přepona, tangens = protilehlá odvěsna / přilehlá odvěsna. Kotangens je převrácená hodnota tangens. Tato jednoduchá definice se používá v geometrii a základních úlohách.

The implication: Kdo pochopí vztah stran v trojúhelníku, získá klíč k celé trigonometrii.

Jaké jsou 3 základní trigonometrické funkce?

Sinus

Sinus úhlu α je poměr protilehlé odvěsny k přeponě. Na jednotkové kružnici odpovídá y-ové souřadnici bodu. Sinus je lichá funkce: sin(-x) = – sin x (Maths.cz (výukový portál)).

Kosinus

Kosinus úhlu α je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. Na jednotkové kružnici odpovídá x-ové souřadnici. Kosinus je sudá funkce: cos(-x) = cos x (Maths.cz (výukový portál)).

Tangens

Tangens α se definuje jako tg α = sin α / cos α pro cos α ≠ 0. V pravoúhlém trojúhelníku je to poměr protilehlé a přilehlé odvěsny. Tangens je periodický s periodou 180° (π rad).

Tyto tři funkce tvoří základ naprosté většiny praktických výpočtů v geometrii, fyzice a inženýrství.

Jaké jsou 6 trigonometrických funkcí?

Kotangens

Kotangens je převrácená hodnota tangens: cotg α = cos α / sin α pro sin α ≠ 0. V některých učebnicích se značí cot nebo cotg.

Sekans

Sekans je definován jako sec α = 1 / cos α pro cos α ≠ 0. V běžné středoškolské matematice se s ním setkáte jen zřídka, ale v pokročilé analýze je užitečný.

Kosekans

Kosekans je csc α = 1 / sin α pro sin α ≠ 0. Spolu se sekansem tvoří dvojici převrácených funkcí.

Vztahy mezi funkcemi

• tg α · cotg α = 1 (Dostudujte (výukový portál))
• sec α = 1 / cos α
• csc α = 1 / sin α
• Všechny funkce jsou periodické; sinus a kosinus s periodou 360°, tangens a kotangens s 180°.

Šest funkcí lze rozdělit na tři páry – základní a jejich převrácené hodnoty. To usnadňuje zapamatování.

Přehled všech šesti funkcí s definicemi a vzájemnými vztahy:

V českých materiálech se běžně používá značení tg a cotg, mezinárodně pak tan a cot (Maths.cz (výukový portál)).

Jaké jsou vzorce pro sinus, kosinus a tangens?

Základní goniometrické vzorce

• sin²α + cos²α = 1 – Pythagorova identita (VUT Brno (technická univerzita))
• tg α = sin α / cos α (Dostudujte (výukový portál))
• tg α · cotg α = 1

Vzorce pro součet a rozdíl

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β (Umíme matiku (výukový portál))
• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β (Umíme matiku (výukový portál))

Vzorce pro dvojnásobný úhel

• sin 2α = 2 sin α cos α (VUT Brno (technická univerzita))
• cos 2α = cos²α – sin²α (VUT Brno (technická univerzita))

The pattern: Všechny pokročilé vzorce vycházejí ze tří základních identit – stačí je umět aplikovat.

Existuje 7. trigonometrická funkce?

Historie dalších funkcí

Historicky existovaly další funkce jako versinus (1 – cos α), haversinus (versinus/2) a exsekans. Používaly se v navigaci a astronomii, ale dnes jsou prakticky zapomenuty.

Versinus a exsekans

Versinus se definoval jako 1 – cos α, exsekans jako sec α – 1. Tyto funkce usnadňovaly výpočty v době, kdy neexistovaly kalkulačky.

Současný standard

Dnešní matematika uznává pouze šest základních funkcí. Žádná sedmá oficiální trigonometrická funkce neexistuje. Pokud narazíte na zmínku o „sedmé funkci“, jedná se o historický relikt nebo neformální označení.

Důvod: všech šest funkcí lze vyjádřit pomocí sinu a kosinu. Přidání další by nepřineslo novou informaci.

The catch: Dějiny matematiky jsou plné zapomenutých nástrojů – versinus dnes najdete jen ve starých navigačních tabulkách.

Citace z odborných zdrojů

Sinus je funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje druhou souřadnici bodu na jednotkové kružnici.

Masarykova univerzita (výzkumná instituce)

Goniometrické funkce se v češtině běžně definují pomocí pravoúhlého trojúhelníku nebo jednotkové kružnice; sinus, kosinus, tangens a kotangens patří mezi čtyři základní.

Wikipedie (otevřená encyklopedie)

Poznámka redakce: Citace byly převzaty z veřejně dostupných akademických a encyklopedických zdrojů.

Závěr

Trigonometrické funkce nejsou jen školní látka – jsou nástrojem pro popis světa kolem nás. Od měření výšky budov po výpočet dráhy satelitu se bez sinu, kosinu a tangens neobejdeme. Pro studenty středních škol v České republice je klíčové porozumět vztahu mezi funkcemi a osvojit si základní vzorce, protože právě na nich staví maturitní zkouška i technické obory. Student, který ovládá šest funkcí, má otevřené dveře k matematice, fyzice i informatice.

Často kladené otázky